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고려대수학교육대학원 입학시험(2011년~2005년)

저작시기 2005.03 |등록일 2018.10.01 한글파일한글 (hwp) | 11페이지 | 가격 1,000원

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본문내용

2. 주어진 도메인에 대하여 함수 f가 연속이고 도메인 내부에 주어진 contour를 제외한 곳에서 f가 analytic(해석적)이다.
그러면 f는 도메인 전체에서 해석적인가?
- 일단 해석적이 되느냐 안되느냐에 대한 답을 요구하셨고 이유를 물어보셨습니다. 저는 기출에서 본 기억을 떠올려 해석적이 된다고 했구요. 이유를 설명할 때 주어진 도메인에 임의의 closed contour를 가져왔을 때 그 컨투어 적분이 0임을 밝혀 f가 전체에서 해석적이라는 것을 보인다는 것을 먼저 밝히고, 그 closed contour가 주어진 contour를 포함하지 않는 경우는 코쉬 정리에 의하여 0이 되는 것이 자명하며, 주어진 contour를 포함하는 경우에는 f가 연속이기 때문에 closed contour를 주어진 contour와 거리를 입실론만큼 줄이게 되면 그 크기가 bound되어 결국 0이 된다고 말했습니다. 따라서 morera 정리에 의해 f는 해석적이다. 라고 얘기했습니다. 제 답변이 끝나자 교수님께서는 이 문제는 정확한 답을 요구하는 것이 아니라 open question이다.. 라는 말씀을 언급하셨습니다.
3. 리만적분의 정의는 무엇인가(질문에 르벡적분에 대한 언급도 있었으나 직접적으로 르벡 적분이 뭔지는 안물어봤습니다.)
리만적분이 가능한 함수 f 의 조건은?(필요충분조건)
일단 리만적분의 정의는 정의역이 폐구간이고 함수가 그 위에서 유계인 경우 폐구간의 분할부터 시작해서 그 소구간에서 함수의 sup, inf값.. 사각형의 상합 하합 등 해서 어쩌구저쩌구 해서 그 크기가 같으면 리만적분 가능하다. 그냥 책에 있는 대로 얘기해주시면 됩니다. 문제는 그 다음인데 일단 f가 연속이면 리만적분 가능하다. 하니까 그럼 조건을 더 강화시킬 수 있느냐 하시길래 f의 불연속점의 개수가 유한개면 리만적분 가능하다. 라고 답했고, 또 그럼 불연속점의 개수가 무한개면 리만적분 가능하냐? 라고 하시더군요.

참고 자료

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